Lukio

Tehtävä 6: Rakennustaiteen ja -teknologian historiaa

Tehtävässä tutkitaan rakennustaiteen ja luonnontieteiden historiaa ja niiden vuorovaikutusta Suomesta löytyvien vanhojen rakennusperintökohteiden ja maailmanperintökohteiden avulla. Valitkaa Suomesta ja muualta muutama kohde ja tutustukaa niihin matematiikan, fysiikan, kemian ja rakennusteknologian näkökulmasta. Esimerkiksi elementtirakentaminen sai alkunsa Lontoossa vuonna 1882 käytetyistä julkisivuelementeistä. Rakennustapa yleistyi kuitenkin vasta 1940-luvun lopulla, ja ensimmäinen elementtirakennus Suomessa oli Porthania (1952–53) Helsingissä. Mitä fysikaalisia, matemaattisia ja teknisiä ongelmia ja seikkoja rakentamisessa on vuosien varrella jouduttu ratkaisemaan, ja miten teknologian kehitys on vaikuttanut rakentamiseen? Ottakaa selvää, kuinka rakentaminen on toteutettu ja miten se on onnistunut? Miten pyramidien rakentaminen on onnistunut, ja miten kirkon kupoleista saadaan kestäviä?

Esimerkkejä:

  • Turun linna ja Olavinlinna Savonlinnassa: linnoitusrakentaminen
  • Verlan puuhiomo: tehdasrakentaminen ja pahvin valmistus
  • 1960–1970-luvun kerrostalot Suomessa: elementtirakentaminen
  • Alhambran mosaiikit Espanjassa: symmetria ja yhtenevyys
  • Parthenon-temppeli Ateenassa: kultainen leikkaus
  • Pyramidit, temppelit ja kirkot: geometriset kuviot

Tehtävä 7: Kultainen leikkaus ja kultainen suorakulmio arkkitehtuurissa

Kultaiseksi leikkaukseksi kutsutaan tiettyä tapaa jakaa jana kahteen eripituiseen osaan. Kultainen leikkaus syntyy, kun jana jaetaan kahteen osaan siten, että pidemmän osan suhde lyhyempään osaan on sama kuin koko janan suhde pidempään osaan. Seuraavassa kuviossa piste C jakaa janan AB kahteen osaan kultaisen leikkauksen mukaisesti:

Kultaisen leikkauksen mukaisesti jana on siis jaettu niin, että yhtäsuuruus AC/CB = AB/AC pitää paikkansa. Edeltävän yhtälön ratkaisemalla voi havaita, että tällöin janan jako-osat suhtautuvat toisiinsa yhtälön  

              (≈1,618) mukaisesti.


Kultainen leikkaus klassisessa arkkitehtuurissa ja taiteessa
Antiikin kreikkalaiset uskoivat, että kultaiseen leikkaukseen perustuvat geometriset muodot ovat erityisen kauniita ja harmonisia. Tästä syystä he sovelsivatkin kultaista leikkausta runsaasti arkkitehtuurissaan. Esimerkiksi Ateenan Akropolis-kukkulalla sijaitsevan Parthenon-temppelin julkisivu ja Paestumin temppeli nykyisessä Italiassa ovat kultaisen suorakulmion muotoisia. Todisteita kultaisen leikkauksen käytöstä on löydetty myös muinaisten meksikolaisten Teotihuacanin Auringon pyramidin sekä Egyptin pyramidien rakenteista. Uudempi esimerkki kultaisen leikkauksen soveltamisesta arkkitehtuurissa on Yhdysvalloissa sijaitseva YK:n päämaja, jonka julkisivu on myös kultaisen suorakulmion muotoinen. Myös kuvataiteessa kultaista leikkausta on käytetty runsaasti. Sen avulla on usein sommiteltu kuvan tärkeimpien osien suhteita. Kuuluisa esimerkki kultaisen leikkauksen sovelluksesta kuvallisessa sommittelussa on Leonardo da Vincin maalaus Mona Lisa. Suomessa kultaista leikkausta on sovellettu esimerkiksi nykytaiteen museo Kiasman mitoituksessa. Arkkitehti Steven Holl on käyttänyt hyväkseen kultaista leikkausta suhteuttaessaan rakennuksen oviaukkojen korkeuksia ja leveyksiä, liukuovien ruudutusta sekä tilojen mitoitusta.

Tehtävä 8: Tutkikaa, onko rakennuksen fasadi eli julkisivu kultaisen suorakulmion muotoinen

Mittaa rakennuksen, esimerkiksi koulun, leveys (e). Ratkaise yhtälöparista a + b = e, a + b/a = a/b  a:n ja b:n pituudet, kun leveys e jaetaan kultaisen leikkauksen mukaisesti kahteen osaan siten, että a on pitempi ja b lyhyempi osa. Arvioi tämän jälkeen talon korkeus h (ks. tehtävä 4). Julkisivu on kultaisen suorakulmion muotoinen, mikäli korkeus h on (likimäärin) yhtä suuri kuin a.

Kultainen suorakulmio
Tyypillinen esimerkki kultaiseen leikkaukseen perustuvasta geometrisesta muodosta on niin sanottu kultainen suorakulmio. Kultainen suorakulmio voidaan muodostaa siten, että jaetaan ensin vaakasuora jana AB kultaisen leikkauksen suhteessa (piste C). Tämän jälkeen muodostetaan suorakulmio niin, että janan AB pitempi osa AC on suorakulmion kanta ja janan BC pituus toimii suorakulmion korkeutena. Konstruktio voidaan tehdä esimerkiksi harpin ja viivoittimen avulla siten, että ensin piirretään pisteeseen C janan AB suhteen kohtisuora suora. Tämän jälkeen piirretään ympyrä, jonka keskipisteenä on piste C ja säteenä janan CB pituus. Tällöin ympyrän ja suoran leikkauspisteessä sijaitsee suorakulmion yläkulma.


 

Jatkotehtävä: Tutkikaa rakennuksesta löytyvien janojen välisiä suhteita

Tutkikaa, löytyykö koulurakennuksen julkisivusta tai rakennuksen sisältä sellaisia kohtia, jotka on jaettu kultaisen leikkauksen mukaisesti.

Esimerkiksi:

  • ikkunan aukon jako kahteen osaan kahdeksi ikkunaksi
  • ikkunan leveyden tai korkeuden suhde kahta ikkunaa erottavan seinän pituuteen
  • mikä tahansa muu rakennuksesta rakenteiden mukaan erottuva jana, joka jakautuu kahteen osaan.

Löytyykö julkisivusta muita kultaisia suorakulmioita?

Mitatkaa rakennuksesta löytyvien janojen pituuksia ja laskekaa tämän jälkeen eri janapareille suhdeluvut: esimerkiksi janoille a ja b suhdeluku on a/b. Etsikää sellaisia janapareja, joissa pituuksien välinen suhde on sama, toisin sanoen: a/b = b/c tai a/b = c/d. Jos löydätte janapareja, joissa pituuksien suhde on sama, niin pohtikaa, onko tällä yhtäläisyydellä merkitystä rakennuksen esteettisen ilmiasun kannalta. Rakennuksen julkisivun osien välisiä suhteita voi koettaa tutkia myös ottamalla valokuvan julkisivusta ja tekemällä mittauksia valokuvasta.

Suunnitelkaa talon julkisivu siten, että käytätte koristekuvioiden janojen suhteissa mahdollisimman paljon kultaista leikkausta. Rakentakaa avuksi mekaaninen laite, jonka avulla voidaan mitata janasta kultaisen leikkauksen mukainen jakopiste. Tutkikaa luokkahuoneesta tai muualta löytyviä janoja laitteen avulla.

Alla oleva laite rakennetaan siten, että neljä keppiä tai pahvin palaa kiinnitetään toisiinsa. Kiinnitys on tehtävä niin, että kiinnityskohtien läpi kulkee akseli tai sopiva niitti, joka mahdollistaa osan liikkumisen kiinnityskohdan läpi kulkevan akselin ympäri. Kahden lyhyimmän osan FD ja FE kiinnityskohdat osiin AC ja BC määritetään siten, että kiinnityskohdat D ja E jakavat kultaisen leikkauksen suhteessa janat AC ja BC. Kun laite asetetaan jotain pintaa vasten alla olevan kuvan mukaisesti, voidaan ajatella, että laitteen kahden pitkän osan päät määrittävät janan AB päätepisteet. Tällöin janalla AB sijaitseva lyhyempien osien FE ja FD yhteinen kiinnityskohta F määrittää samalla janalta AB pisteen F, joka jakaa janan AB kultaisen leikkauksen suhteessa.

Tehtävä 9: Jatkotehtävä fysiikan tehtävään 10 (lukio): Valot ja varjot

Tarkkailkaa, minkä pituisia rakennusten varjot ovat kunakin ajankohtana. Laskekaa auringon säteilyn kulma ja arvioikaa muodostuvien varjojen pinta-aloja.

Hanna Lämsä